Le monde est petit
(par Gilles Roqueplo et Hervé This)
Combien doit-on réunir de personnes pour que deux d’entre elles aient à coup sûr leur anniversaire le même jour ? Quatre cent personnes ? Mille personnes ? Un million de personnes ?
Examinons la question à l’aide d’un principe de bon sens, que les mathématiciens nomment le principe des tiroirs : si une commode comporte deux tiroirs et si nous devons y ranger trois chemises, il y aura nécessairement au moins deux chemises dans un des tiroirs. Et si nous avions un meuble avec dix tiroirs, et onze chemises à y ranger, il y aurait encore nécessairement au moins deux chemises dans un des tiroirs.
Revenons aux anniversaires : les dates d’anniversaire sont les tiroirs, et les personnes sont les chemises. S’il y a une personne de plus que de dates d’anniversaires, nous sommes certains, d’après le principe des tiroirs, que deux personnes au moins ont la même date d’anniversaire. Autrement dit, quand 366 personnes sont réunies, deux au moins ont à coup sûr leur anniversaire le même jour.
De même, ne nous étonnons pas si, discutant avec un inconnu, nous découvrons qu’il connaît quelqu’un que nous connaissons aussi. Le mystère n’est pas grand, comme le montre le raisonnement suivant. Chacun d’entre nous connaît en moyenne 500 personnes, et chacune de ces 500 personnes en connaît 500 autres, cela fait que nous connaissons grosso modo 500 fois 500, soit 250 000 personnes, par une personne interposée. Et par deux personnes interposées, nous en connaissons donc 500 fois plus, soit 125 millions ! Bien sûr, ce chiffre est surestimé car entre amis, nous avons souvent des relations communes. Mais il donne quand même à réfléchir.
Aussi, la prochaine fois que vous rencontrerez un inconnu, ne vous étonnez pas si vous avez un ami qui connaît un ami qui connaît l’inconnu : ce serait le contraire qui serait étonnant !
